無限はどこに分類するの?

先日、中学1年生の数学の指導をしていたときの出来事です。

生徒Aさん:「先生!虚数ってなんですか?」
塾  長 :「二乗すると、負になる数のこと。」
生徒Bさん:「二乗して負になる数って、どういうこと??」
塾  長 :「イメージとして、正方形の面積が負の数になるような一辺の長さのこと。不思議だね。」

中学1年生の数学では、正負の数の最後に『数の範囲・分類』を学ぶところがあります。
中1で習うのは【自然数、整数、数】だけなのですが、中3・高1で習う【有理数、無理数、虚数】まで話を広げて説明をしてくださる学校の先生もいるようです。

学校の授業のなかで、疑問に思ったことがあると、こうして質問してくる生徒もいます。

Aさんこの質問から始まり、数の分類の話はヒートアップしていきました。

生徒Cさん:「じゃあ、無限という数はどこに分類されるの?」
生徒Aさん:「無限は無限だから、無理数?」
生徒Dさん:「無限÷無限=1、無限-無限=0。だから、無限は実数でしょ」
生徒Bさん:「でもそうしたら、無限は無限じゃなくて、数えられるんじゃないの?」

こんなやりとりが10分ほど続き、たどり着いた結論は・・・

数の中に、【実数、虚数、無限】があり、実数の中に【有理数、無理数】、有理数の中に【分数、整数、自然数】ということになりました。

これが一番納得のできた答えのようですが、今後どこかの学習段階で、この仮説が合っているかどうかを検証してくれることを期待したいです(^^)


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コメント(36)

おはようございます。

素晴らしいやり取り
生徒の熱い思い・スキルの高さを感じます。
こうした議論や疑問から多くの学びがありますね♪

おはようございます。

有理数、無理数、虚数など、学校では
習わなかったと思いますが、今は、
社会的にこのような単語が出てくるので、
教えたり、話題になるんですね。

学校でのギモンを問いかけられる場所が
あるというのは、素敵なことですね。

甲州市学習塾のこばやしさん

おはようございます。

>これが一番納得のできた答えのようですが、今後どこかの学習段階で、この仮説が合っているかどうかを検証してくれることを期待したいです(^^)

これは解答がないのですね・・・?

それにしても無限以外の言葉が分かりません・・・(^_^;)

子どもたちは楽しんでこういう議論をすることでより理解していくんでしょうねぇ(^^)

お早うございます
いつも有難うございます
こんなやり取りが出来る場所や出来る相手が居る事って凄いです
流石です
なんでも好奇心旺盛な人に育って欲しいですね

お早うございます。
文系の頭には難しいです。
(虚数って高校では?)

無限小数
円周率 3.141519...
1/3は 0.333333..
 終わりが無い
それに対して有限小数は限りがある
0.5=1/2
>【実数、虚数、無限】があり、実数の中に【有理数、無理数】、
はい、よく分かりまりした。
有理数とは 分数に出来るものですね。 1=1/1, 3=3/1
 0.333333...は分数のなるので、有理数
 パイΠは無理数
 ルートも無理数
>有理数の中に【分数、整数、自然数】ということになりました
ゼロと負の整数を除いたものが、自然数ですね。

ありがとうございました。

おはようございます

私には苦手な数学ですがこうして教えていただくと楽しいですね。(^^)

>数の中に、【実数、虚数、無限】があり、実数の中に【有理数、無理数】、有理数の中に【分数、整数、自然数】ということになりました。


数にもいろいろ分類が出来るのですね。
私は、無限は∞(メビウス)ですから終わりがない循環と理解しています。(
正常な自然の生態系もある面では無限かも?(^^)

おはようございます

学問はこうした疑問から興味が湧いてきますよね。
無限の力を発揮したいですね。

こんにちは。

面白いですね。
生徒さん同士で疑問質問をぶつけあって、議論が白熱する、とても素晴らしいことです。

こんにちは。
中学生の会話とは思えませんね^^
私の眠れる理系魂が・・・、もう起きれません^^;;
数学はある事を仮定して、それを数学(理論?)で照明していく繰り返しなので
今やってることがあってるかどうかもホントは分からないんですよね。
十進法だって、指の数が10本だから考えやすいので十進法を採用しているだけだそうですし。
>イメージとして、正方形の面積が負の数になるような一辺の長さのこと。
>不思議だね。
うまい^^!

吉野聡建築設計室様 

こんばんは(^^)
いつもありがとうございます♪

>素晴らしいやり取り生徒の熱い思い・スキルの高さを感じます。
 突然の質問、何が飛び出してくるかと
 いつもドキドキします(*^_^*)
 子ども達の発想、疑問、大切にしていきたいです

>こうした議論や疑問から多くの学びがありますね♪
 話合いも深く、どんどん議論が進んでいきました(^^)
 聴いていると、様々な思考が行われていて、興味深かったです

たくみの里のふく様 

こんばんは(^^)
いつもありがとうございます♪

>有理数、無理数、虚数など、学校では習わなかったと思いますが、
>今は、社会的にこのような単語が出てくるので、教えたり、話題になるんですね。
 学習指導要領が変わり、復活した分野です(^^)
 中学3年生になると、もっとより詳しく分類していきます♫

>学校でのギモンを問いかけられる場所があるというのは、素敵なことですね。
 議論が進んで行くうちに、どんどん話が深くなっていくので
 驚きました

溶射屋様 

こんばんは(^^)
いつもありがとうございます♪

>これは解答がないのですね・・・?
 私も無限はどこへ分類したらいいのか??です^^;

>それにしても無限以外の言葉が分かりません・・・(^_^;)
 中学1年生の段階で、数に興味を持って数学に取り組めるのは
 これからの学習においても、いいことではないかと思います(*^_^*)

>子どもたちは楽しんでこういう議論をすることでより理解していくんでしょうねぇ(^^)
 議論しているときは、真剣で、とても楽しそうでした(^^)

cotton母様 

こんばんは(^^)
いつもありがとうございます♪

>こんなやり取りが出来る場所や出来る相手が居る事って凄いです流石です
 どういう展開になっていくのか、心配していたのですが
 その心配も無用でした^^
 生徒たちだけで、議論が進み、思いがけないような難しい言葉も使ったりして
 感心して見ていました

>なんでも好奇心旺盛な人に育って欲しいですね
 ハイ(^^)
 様々な興味関心から、やってみたいことを絞っていってもらいたいです♫

藤井先生

こんばんは(^^)
いつもありがとうございます♪

>文系の頭には難しいです。(虚数って高校では?)
 虚数は高校生になってからです(^^)

>無限小数・・・それに対して有限小数は限りがある
>有理数とは 分数に出来るものですね。 1=1/1, 3=3/1
>ゼロと負の整数を除いたものが、自然数ですね。
 数の詳しい解説をありがとうございます(*^_^*)
 中学1年生の生徒が納得できるように、虚数や無限を教えるのは難しいです^^;

>ありがとうございました。
 こちらこそ、いつもありがとうございます♪

京丹後のおやじ様 

こんばんは(^^)
いつもありがとうございます♪

>私には苦手な数学ですがこうして教えていただくと楽しいですね。(^^)
 どんどん議論が進んでいくと、話が難しくなっていき、感心しながら遠巻きに見ていました♫
 みんな、楽しそうに自分の思ったことを相手に伝えていました(*^_^*)

>数にもいろいろ分類が出来るのですね。
 これを初めて習った中学1年生にとっては、とっても不思議だったようです(^^)

>私は、無限は∞(メビウス)ですから終わりがない循環と理解しています。(
 なるほど~そのように説明したら、みんなもわかり易かったかもしれないです
 ありがとうございます♪

>正常な自然の生態系もある面では無限かも?(^^)
 ハイ(^^) 
 その無限の和を断ち切らないように、自然と共存することについても
 考えていきたいです

ワインショップキムラ様 

こんばんは(^^)
いつもありがとうございます♪

>学問はこうした疑問から興味が湧いてきますよね。無限の力を発揮したいですね。
 なぜと思ったり感じたことを、どんどん追求していってもらいたいです(^^)
 知ること、学ぶことは大きな喜びがありますね

お米農家 内山農産のチカ様 

こんばんは(^^)
いつもありがとうございます♪

>面白いですね。
 何も疑問に感じていなかったことだったので
 生徒の質問にビックリしました(^^)

>生徒さん同士で疑問質問をぶつけあって、議論が白熱する、とても素晴らしいことです。
 議論しているときは、とっても楽しそうでした
 どんどん思考が深くなっていき、驚きも多いです(^^)

誕生日プレゼント工場様 

こんばんは(^^)
いつもありがとうございます♪

>中学生の会話とは思えませんね^^
 議論しているときに出てくる言葉にも驚きました
 相手を納得させるだけの、説明をそれぞれがしていました(*^_^*)

>私の眠れる理系魂が・・・、もう起きれません^^;;
 起きてくださ~い\(^o^)/~

>数学はある事を仮定して、それを数学(理論?)で照明していく繰り返しなので
>今やってることがあってるかどうかもホントは分からないんですよね。
 数学は美しく楽しい学問ですね(*^_^*)
 できないから、できるになった時の感動も大きいです♫

>十進法だって、指の数が10本だから考えやすいので十進法を採用しているだけだそうですし。
 なるほど~(^^)

>うまい^^!
 中学1年生や小学生に説明するとき、どうやったら納得してくれるかと
 いつも頭をひねって、言葉や例えを考えます(^^)

こんばんは。

素晴らしい生徒さんたちとのやり取りです。
考える事の素晴らしさと疑問を持つことの大切さを感じます。
知る事考える事の喜びを学ぶ事は素晴らしいですね。

生徒さんたちの成長が楽しみですね。

こばやし先生、こんばんは!
高校生の頃「0の0乗は1」というのを聞いて理解出来なかったことを思い出しました^^;
大学になって理系の友人に聞くと小一時間ぐらい証明と説明をしてくれたのですが(私が理解できないので何度も…)今でもよくわかっていません(笑)
>正方形の面積が負の数になるような一辺の長さ
むむむむむっ!!!!
今日の夜夢に出てきそうです@-@;

甲州市学習塾のこばやしさん
こんにちはヽ(^0^)ノ

熱い議論を闘わせたわけですね^^
素晴らしいことですね。
みんなで考えること、理解することも大事ですね。

無限を分類する。。
考えたこともありませんでした。
生徒さんのこれからが楽しみですね(^O^)!

こんばんは。

そういえばこういうのはるか昔に習った記憶が
ありますが、懐かしいというか頭が痛いというか・・・

子供たちの疑問に答えなくてはならない先生という
職業は大変だなあと思います。
でもそれがまたやりがいなんでしょうね。

こばやしさん、こんばんは

とってもレベルの高い会話ですね^^;
中学一年生なのですね~^^;
わからないことをとことん考える力と環境が
向学舎には備わっているのですね^^
将来が楽しみな生徒さんです。

こんにちは。
すごい生徒さん達ですね。
自分から疑問に思った事を解決して行くなんて。
将来は、数学博士か物理学者?
日本の将来も楽しみです(^^ )

こんばんは!

こうした疑問って大事ですよね。
あらためて考えてみると難しいですよね。
こういう疑問から、ひらめきや発見があるのでしょうね。
素晴らしいです。

こんばんは
高等数学は抽象概念がありますね。
想像力が求められますね

こばやし先生 こんばんは。

生徒さんの素直な疑問、大切ですね。
いろんな、疑問が沸きおこるのもすばらしい!
そしてその疑問に正面からお答えする先生も立派です。
最後にしっかり結論、生徒さんに拍手です♪

子豚のママ様 

おはようございます(^^)
いつもありがとうございます♪

>素晴らしい生徒さんたちとのやり取りです。
 生徒同士、どんどん疑問を投げかけて、議論しあっていました

>考える事の素晴らしさと疑問を持つことの大切さを感じます。
>知る事考える事の喜びを学ぶ事は素晴らしいですね。
 目の輝き、普段の勉強の時よりもキラキラしていました(*^_^*)
 少し離れて観ていても、楽しそうでした♪

>生徒さんたちの成長が楽しみですね。
 毎日喜びや感動が多いです(^^)

新潟スイーツ・ナカシマ様 

おはようございます(^^)
いつもありがとうございます♪

>高校生の頃「0の0乗は1」というのを聞いて理解出来なかったことを思い出しました^^;
 ありました~懐かしい勉強です(^^)

>大学になって理系の友人に聞くと小一時間ぐらい証明と説明をしてくれたのですが
 熱心なお友達ですね(^^)
 理系の方が数学について語り始めると、深いですね

>(私が理解できないので何度も…)今でもよくわかっていません(笑)
 私も復習します(*^_^*)

>むむむむむっ!!!!今日の夜夢に出てきそうです@-@;
 出てきましたか~\(^o^)/

ヒロリン様 

おはようございます(^^)
いつもありがとうございます♪

>熱い議論を闘わせたわけですね^^素晴らしいことですね。
 ああでもない、こうでもないと、様々なアイデアが浮かんでいるようでした(^^)

>みんなで考えること、理解することも大事ですね。
 ハイ(^^)
 こうしている時間が一番楽しそうでした♪

>無限を分類する。。考えたこともありませんでした。
 子どもは、不思議なことに疑問を感じるのですね
 これもまた、発見でした(^^)

>生徒さんのこれからが楽しみですね(^O^)!
 毎日、ワクワクドキドキの連続です♪

ジャガー様 

おはようございます(^^)
いつもありがとうございます♪

>そういえばこういうのはるか昔に習った記憶がありますが、
>懐かしいというか頭が痛いというか・・・
 普段では、全く登場しない言葉ばかりです^^;
 なんとなく理解しているので、説明してと言われると、ハテ??と困ることもあります

>子供たちの疑問に答えなくてはならない先生という職業は大変だなあと思います。
>でもそれがまたやりがいなんでしょうね。
 ハイ(^^)/
 わかったとき、表情が変わる瞬間を見るのが、嬉しいです♪
 生徒と共に、好奇心を持って勉学に励んでいきたいと思います\(^o^)/

クレヨン 岡田様 

おはようございます(^^)
いつもありがとうございます♪

>とってもレベルの高い会話ですね^^;中学一年生なのですね~^^;
 ちゃんと学校の授業を聞いて
 疑問に思ったことを覚えて帰ってくるのも、エライです(^^)

>わからないことをとことん考える力と環境が向学舎には備わっているのですね^^
 ありがとうございます♪
 常にそのような環境を保ちたいと思っています(^^)

>将来が楽しみな生徒さんです。

保険屋あい様 

おはようございます(^^)
いつもありがとうございます♪

>すごい生徒さん達ですね。
>自分から疑問に思った事を解決して行くなんて。
 どこまでこの議論が進んでいくのか、見ている方もワクワクする内容でした(^^)

>将来は、数学博士か物理学者?日本の将来も楽しみです(^^ )
 みんなどのような夢にむかっていくのか、楽しみです(*^_^*)

みんなニコニコ医療食のよっしー様 

おはようございます(^^)
いつもありがとうございます♪

>こうした疑問って大事ですよね。
>あらためて考えてみると難しいですよね。
 そうなんです(^^)
 理解して納得していると、疑問も感じないですが、
 子ども達にとって、こういうことは、不思議なのだと、発見でもありました(*^_^*)

>こういう疑問から、ひらめきや発見があるのでしょうね。素晴らしいです。
 議論の間に出てくる言葉も専門的で、驚きました

伯爵様 

おはようございます(^^)
いつもありがとうございます♪

>高等数学は抽象概念がありますね。
>想像力が求められますね
 ハイ(^^)
 中学生になったばかりなので、これを理解するのは難しいかと思いましたが
 なんとなく、雲をつかむような話を理解しているようでした

茶柱通心様 

おはようございます(^^)
いつもありがとうございます♪

>生徒さんの素直な疑問、大切ですね。
>いろんな、疑問が沸きおこるのもすばらしい!
 それを立ち止まって、納得できるまで、そのままにしないのもエライと思いました(^^)

>そしてその疑問に正面からお答えする先生も立派です。
 ありがとうございます^^
 どのように説明すれば納得できるかも、思案のしどころです

>最後にしっかり結論、生徒さんに拍手です♪
 全員が納得できたようで、自然解散していきました(^^)

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